微分の計算法則の導出 - 新アルファ・ラボ|学術掲示板群

微分の計算法則の導出
編集返信 0 商湯 2025年1月23日木 23:46
微分の計算法則を、「無限小」を用いて、導出します：関数のk倍の微分 $\frac{\mathrm{d}kf(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{kf(x+\mathrm{d}x)-kf(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{k[f(x+\mathrm{d}x)-f(x)]}{dx}=k\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ 関数の和・差の微分 $\frac{\mathrm{d}[f(x)\pm g(x)]}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x+\mathrm{d}x)\pm g(x+\mathrm{d}x)-[f(x)\pm g(x)]}{\mathrm{d}x}\\=\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}\pm \frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\pm \frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$ 関数の積の微分 $\frac{\mathrm{d}[f(x)g(x)]}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)}{\mathrm{d}x}\\=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x+\mathrm{d}x)+f(x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)}{\mathrm{d}x}\\=g(x+\mathrm{d}x)\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}+f(x)\frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x}=g(x)\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$ 関数の商の微分 $\frac{\mathrm{d}[\frac{f(x)}{g(x)}]}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{f(x+\mathrm{d}x)}{g(x+\mathrm{d}x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x)-f(x)g(x+\mathrm{d}x)}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)\mathrm{d}x}\\=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x)-f(x)g(x)-[f(x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)]}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)\mathrm{d}x}\\=\frac{g(x)[f(x+\mathrm{d}x)-f(x)]-f(x)[g(x+\mathrm{d}x)-g(x)]}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)\mathrm{d}x}\\=\frac{g(x)\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}-f(x)\frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x}}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)}=\frac{g(x)\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}-f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}}{g^{2}(x)}$ 合成関数の微分 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 逆関数の微分 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$ 以上です。

微分の計算法則の導出

0 商湯 2025年1月23日木 23:46

微分の計算法則を、「無限小」を用いて、導出します：

関数のk倍の微分

$\frac{\mathrm{d}kf(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{kf(x+\mathrm{d}x)-kf(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{k[f(x+\mathrm{d}x)-f(x)]}{dx}=k\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$

関数の和・差の微分

$\frac{\mathrm{d}[f(x)\pm g(x)]}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x+\mathrm{d}x)\pm g(x+\mathrm{d}x)-[f(x)\pm g(x)]}{\mathrm{d}x}\\=\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}\pm \frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\pm \frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$

関数の積の微分

$\frac{\mathrm{d}[f(x)g(x)]}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)}{\mathrm{d}x}\\=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x+\mathrm{d}x)+f(x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)}{\mathrm{d}x}\\=g(x+\mathrm{d}x)\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}+f(x)\frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x}=g(x)\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}+f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$

関数の商の微分

$\frac{\mathrm{d}[\frac{f(x)}{g(x)}]}{\mathrm{d}x}=\frac{\frac{f(x+\mathrm{d}x)}{g(x+\mathrm{d}x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\mathrm{d}x}=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x)-f(x)g(x+\mathrm{d}x)}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)\mathrm{d}x}\\=\frac{f(x+\mathrm{d}x)g(x)-f(x)g(x)-[f(x)g(x+\mathrm{d}x)-f(x)g(x)]}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)\mathrm{d}x}\\=\frac{g(x)[f(x+\mathrm{d}x)-f(x)]-f(x)[g(x+\mathrm{d}x)-g(x)]}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)\mathrm{d}x}\\=\frac{g(x)\frac{f(x+\mathrm{d}x)-f(x)}{\mathrm{d}x}-f(x)\frac{g(x+\mathrm{d}x)-g(x)}{\mathrm{d}x}}{g(x+\mathrm{d}x)g(x)}=\frac{g(x)\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}-f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}}{g^{2}(x)}$

合成関数の微分

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

逆関数の微分

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

以上です。

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