微分の基本公式の導出(2) - 新アルファ・ラボ|学術掲示板群

微分の基本公式の導出(2)
編集返信 0 商湯 2025年1月23日木 23:55
微分の基本公式を、「無限小」を用いて、導出します（つづき）：三角関数の微分 cosxの微分 $\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\sin(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\sin(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}\frac{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}x}=\cos(x+\frac{\pi}{2})\cdot 1=-\sin x$ tanxの微分 $\tan x^\prime=(\frac{\sin x}{\cos x})^\prime=\frac{\sin x^\prime\cos x-\sin x\cos x^\prime}{\cos^2 x}\\=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$ cotxの微分 $\frac{\mathrm{d}\cot x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}[-\tan(x+\frac{\pi}{2})]}{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}\frac{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}x}\\=-\sec^2(x+\frac{\pi}{2})\cdot 1=-[(-\csc x)^2]=-\csc^2 x$ 或いは： $\cot x^\prime=(\frac{1}{\tan x})^\prime=\frac{\tan x\cdot 1^\prime-1\cdot\tan x^\prime}{\tan^2 x}=\frac{-\sec^2}{\tan^2 x}=-\csc^2 x$ secxの微分 $\sec x^\prime=(\frac{1}{\cos x})^\prime=\frac{\cos x\cdot 1^\prime-1\cdot\cos x^\prime}{\cos^2 x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\sec x\tan x$ cscxの微分 $\csc x^\prime=(\frac{1}{\sin x})^\prime=\frac{\sin x\cdot 1^\prime-1\cdot\sin x^\prime}{\sin^2 x}=\frac{-\cos x}{\sin^2 x}=-\csc x\cot x$ （他の）対数・指数関数の微分 e^x の微分 $\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\mathrm{e}^x}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\ln\mathrm{e}^x}{\mathrm{d}\mathrm{e}^x}}=\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{e}^x}}=\mathrm{e}^x$ （画像が小さすぎるから、テキスト版はこちらです： de^x/dx=1/(dx/de^x)=1/(dlne^x/de^x)=1/(1/e^x)=e^x） log_ax の微分 $\log_a x^\prime=(\frac{\ln x}{\ln a})^\prime=\frac{1}{x\ln a}$ a^x の微分 $\frac{\mathrm{d}a^x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}a^x}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\log_a(a^x)}{\mathrm{d}a^x}}=\frac{1}{\frac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a$ （画像が小さすぎるから、テキスト版はこちらです： da^x/dx=1/(dx/da^x)=1/[dloga(a^x)/da^x]=1/[1/a^xlna]=a^xlna）次は逆三角関数の微分です、latexは控えますから、直ちにテキスト版をごらんください： arcsinxの微分 x=siny, y=arcsinx darcsinx/dx=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(dsiny/dy) =1/(cosy) =1/√(1-sin^2 y) =1/√(1-x^2) arccosxの微分 x=cosy, y=arccosx darccosx/dx=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(dcosy/dy) =-1/siny =-1/√(1-cos^2 y) =-1/√(1-x^2) arctanxの微分 x=tany, y=arctanx darctanx/dx=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(dtany/dy) =1/sec^2 y =1/(1/cos^2 y) =1/[(cos^2 y + sin^2 y) / cos^2 y] =1/(1+tan^2 y) =1/(1+x^2) arccotxの微分 x=coty, y=arccotx darccotx/dx=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(dcoty/dy) =-1/csc^2 y =-1/(1/sin^2 y) =-1/[(sin^2 y + cos^2 y) / sin^2 y] =-1/(1+cot^2 y) =-1/(1+x^2) arcsecxの微分 x=secy, y=arcsecx darcsecx/dx=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(dsecy/dy) =1/(secytany) tan^2 y =sec^2 y sin^2 y =sec^2 y * (1 - cos^2 y) =sec^2 y - (sec^2 y)(cos^2 y) =sec^2 y - 1 tany=√(sec^2 y - 1) darcsecx/dx =1/(secytany) =1/(secy√(sec^2 y - 1)) =1/[x√(x^2-1)] arccscxの微分 x=cscy, y=arccscx darccscx/dx=dy/dx=1/(dx/dy) =1/(dcscy/dy) =-1/(cscycoty) cot^2 y =csc^2 y cos^2 y =csc^2 y * (1 - sin^2 y) =csc^2 y - (csc^2 y)(sin^2 y) =csc^2 y - 1 coty=√(csc^2 y - 1) darccscx/dx =-1/(cscycoty) =-1/(cscy√(csc^2 y - 1)) =-1/[x√(x^2-1)] 以上です。

微分の基本公式の導出(2)

0 商湯 2025年1月23日木 23:55

微分の基本公式を、「無限小」を用いて、導出します（つづき）：

三角関数の微分

cosxの微分

$\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\sin(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\sin(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}\frac{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}x}=\cos(x+\frac{\pi}{2})\cdot 1=-\sin x$

tanxの微分

$\tan x^\prime=(\frac{\sin x}{\cos x})^\prime=\frac{\sin x^\prime\cos x-\sin x\cos x^\prime}{\cos^2 x}\\=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$

cotxの微分

$\frac{\mathrm{d}\cot x}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}[-\tan(x+\frac{\pi}{2})]}{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}\frac{\mathrm{d}(x+\frac{\pi}{2})}{\mathrm{d}x}\\=-\sec^2(x+\frac{\pi}{2})\cdot 1=-[(-\csc x)^2]=-\csc^2 x$

或いは：

$\cot x^\prime=(\frac{1}{\tan x})^\prime=\frac{\tan x\cdot 1^\prime-1\cdot\tan x^\prime}{\tan^2 x}=\frac{-\sec^2}{\tan^2 x}=-\csc^2 x$

secxの微分

$\sec x^\prime=(\frac{1}{\cos x})^\prime=\frac{\cos x\cdot 1^\prime-1\cdot\cos x^\prime}{\cos^2 x}=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\sec x\tan x$

cscxの微分

$\csc x^\prime=(\frac{1}{\sin x})^\prime=\frac{\sin x\cdot 1^\prime-1\cdot\sin x^\prime}{\sin^2 x}=\frac{-\cos x}{\sin^2 x}=-\csc x\cot x$

（他の）対数・指数関数の微分

e^x の微分

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\mathrm{e}^x}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\ln\mathrm{e}^x}{\mathrm{d}\mathrm{e}^x}}=\frac{1}{\frac{1}{\mathrm{e}^x}}=\mathrm{e}^x$

（画像が小さすぎるから、テキスト版はこちらです： de^x/dx=1/(dx/de^x)=1/(dlne^x/de^x)=1/(1/e^x)=e^x）

log_ax の微分

$\log_a x^\prime=(\frac{\ln x}{\ln a})^\prime=\frac{1}{x\ln a}$

a^x の微分

$\frac{\mathrm{d}a^x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}a^x}}=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}\log_a(a^x)}{\mathrm{d}a^x}}=\frac{1}{\frac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a$

（画像が小さすぎるから、テキスト版はこちらです： da^x/dx=1/(dx/da^x)=1/[dloga(a^x)/da^x]=1/[1/a^x*lna]=a^x*lna）

次は逆三角関数の微分です、latexは控えますから、直ちにテキスト版をごらんください：

arcsinxの微分

x=siny, y=arcsinx
darcsinx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/(dsiny/dy)
=1/(cosy)
=1/√(1-sin^2 y)
=1/√(1-x^2)

arccosxの微分

x=cosy, y=arccosx
darccosx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/(dcosy/dy)
=-1/siny
=-1/√(1-cos^2 y)
=-1/√(1-x^2)

arctanxの微分

x=tany, y=arctanx
darctanx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/(dtany/dy)
=1/sec^2 y
=1/(1/cos^2 y)
=1/[(cos^2 y + sin^2 y) / cos^2 y]
=1/(1+tan^2 y)
=1/(1+x^2)

arccotxの微分

x=coty, y=arccotx
darccotx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/(dcoty/dy)
=-1/csc^2 y
=-1/(1/sin^2 y)
=-1/[(sin^2 y + cos^2 y) / sin^2 y]
=-1/(1+cot^2 y)
=-1/(1+x^2)

arcsecxの微分

x=secy, y=arcsecx
darcsecx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/(dsecy/dy)
=1/(secy*tany)

tan^2 y
=sec^2 y * sin^2 y
=sec^2 y * (1 - cos^2 y)
=sec^2 y - (sec^2 y)*(cos^2 y)
=sec^2 y - 1
tany=√(sec^2 y - 1)

darcsecx/dx
=1/(secy*tany)
=1/(secy*√(sec^2 y - 1))
=1/[x*√(x^2-1)]

arccscxの微分

x=cscy, y=arccscx
darccscx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)
=1/(dcscy/dy)
=-1/(cscy*coty)

cot^2 y
=csc^2 y * cos^2 y
=csc^2 y * (1 - sin^2 y)
=csc^2 y - (csc^2 y)*(sin^2 y)
=csc^2 y - 1
coty=√(csc^2 y - 1)

darccscx/dx
=-1/(cscy*coty)
=-1/(cscy*√(csc^2 y - 1))
=-1/[x*√(x^2-1)]

以上です。

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数式 αβγ IPA http:// 画像 B I U 上下

１. http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php を開いて、数式を編集します。
２. ページの下部のドロップダウンリストから「URL」を選択して、下のURLをコピーします。
３. このページでの「画像」をクリックして、先ほどのURLを貼り付けます。

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