前書き

微積分を理解するには、先ず「関数」を理解しておかなければなりません
そこで関数を説明するスレも書いています、下記のリンクを参照
http://www.jkofsp.net/bbs/topic.aspx?id=218-0

微分

例
まずは s = f (t) つまり路程と時間の関数式を考察してみましょう。
ここで、ある時刻 t1 における瞬間的な速度を求めるとしましょう。

どうやって求めるのでしょうか？
答えは簡単です！
時刻 t1 について、
ある無限小の時間帯（これを dt と表記します！）
における路程の変化量（これを df(t1) と）
とこの無限小の時間帯に割り算をすればおｋです、
つまり
v (t1) = df(t1) / dt
= {df(t1 + dt) – f(t1)} / dt
で求まります！

具体例として、例えば　s = f (t) = t ^ 2 で行きましょう、
v (t1) = df(t1) / dt
= {df(t1 + dt) – f(t1)} / dt
= {(t1 + dt) ^ 2 – t1 ^ 2} / dt
= (t1 ^ 2 + dt ^ 2 + 2 * t1 * dt – t1 ^ 2) / dt
= (2 * t1 * dt + dr ^ 2) / dt
= 2 * t1 + dt (ここで dt = 0 としましょう)
= 2 * t1
つまり、s = f (t) = t ^ 2 が t1 における微分係数が 2 * t1 である、
と言います。

もっと一般に、t1 が定数ではなく、任意の値(t)を取る場合、
v (t) = df(t) / dt = {f (t + dt) – f (t)} / dt
を s = f(t) の導関数である、
と言います。

ついでに、dt と ds = df(t) の事を、微分である、と言います。

不定積分

v = f (t)
s = F (t)
とします

そして、
F (t) を f (t) の不定積分である、と言い、
∫f (t) dt
と表記します

もっと一般的に、
F (t) + C （任意の定数の C です）
も f (t) の不定積分になります
つまり、∫f (t) dt = F (t) + C
というわけです

定積分

v = f (t)
s = F (t)
とします。

では、F (b) – F (a) の事を、
f (t) の定積分である、
と言い、
∫[a..b] f (t) dt
と表記します。